Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Kapitel 8 Kumulative Summe und exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittliche Kontrolldiagramme. Präsentation zum Thema: Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Kapitel 8 Kumulative Summe und exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittliche Kontrolldiagramme. Präsentationstranskript: 1 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Kapitel 8 Kumulative Summe und exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittliche Kontrolldiagramme 2 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Einleitung Die Kapitel 4 bis 6 konzentrierten sich auf Shewhart-Kontrollkarten. Der Hauptnachteil von Shewhart-Kontrollkarten ist, dass er nur die Informationen über den Prozess verwendet, der in dem zuletzt aufgetragenen Punkt enthalten ist. Zwei wirksame Alternativen zu den Shewhart-Kontrollkarten sind das kumulative Summen - (CUSUM-) Kontrolldiagramm und das exponentiell gewichtete gleitende Mittel (EWMA) - Regeldiagramm. Besonders geeignet, wenn kleine Verschiebungen erkannt werden sollen. 3 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage 8-1. Das Kumulative-Summen-Kontrolldiagramm Grundprinzipien: Das Cusum-Kontrolltafel zur Überwachung des Prozesses Mittel Das kumulative Diagramm enthält alle Informationen in der Sequenz von Abtastwerten, indem die kumulativen Summen der Abweichungen der Abtastwerte von einem Zielwert aufgetragen werden. Wenn 0 das Ziel für das Prozeßmittel ist, ist der Durchschnitt des j-ten Abtastwerts, dann wird das kumulative Summenkontrolldiagramm durch Auftragen der Grße 4 Einleitung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Überwachung des Prozesses Mean Let Xi die i-te Beobachtung auf dem Prozeß Wenn der Prozeß in der Steuerung ist, dann ist Annehmen bekannt oder kann geschätzt werden. Kumulieren Ableitungen vom Ziel 0 oberhalb des Ziels mit einer Statistik, C Akkumulieren Ableitungen vom Ziel 0 unter dem Ziel mit einer anderen Statistik, C C und C - sind einseitige obere und untere Kumulus. 5 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Die Statistik wird wie folgt berechnet: Die tabellarischen Cusum-Startwerte sind K der Referenzwert (oder Zulage - oder Slackwert) Wenn eine Statistik eine Entscheidung übersteigt Intervall H wird der Prozess als außer Kontrolle betrachtet. Oft als H 5 6 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Bei der Auswahl des Referenzwerts wird KK oftmals auf halbem Weg zwischen dem Ziel 0 und dem Out-of-Control-Wert des Mittelwertes gewählt 1, dass wir daran interessiert sind, schnell zu erkennen. Shift wird in Standardabweichungseinheiten als 1 0 ausgedrückt, dann ist K 7 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Überwachung des Prozesses Beispiel 8-1 0 10, n 1, 1 Interessiert an der Erkennung einer Verschiebung von 1,0 1,0 (1,0) 1,0 Außerhalb des Wertes des Prozeßmittels: 1 11 K und H 5 5 (empfohlen, im folgenden Abschnitt diskutiert) Die Gleichungen für die Statistik sind dann: 8 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Beispiel 8-1 9 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Beispiel 8-1 Die cusum Kontrollkarte zeigt an, dass der Prozess außer Kontrolle geraten ist. Der nächste Schritt besteht darin, nach einer zuordenbaren Ursache zu suchen, Korrekturmaßnahmen vorzunehmen und den Cusum bei Null wieder zu initialisieren. Wenn eine Anpassung an den Prozess vorgenommen werden muss, kann hilfreich sein, um das Prozessmittel nach der Verschiebung zu schätzen. 10 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Beispiel 8-1 Wenn eine Anpassung an den Prozess vorgenommen werden muss, kann es hilfreich sein, das Prozessmittel nach der Verschiebung zu schätzen. Die Schätzung kann aus N, N - Zählern berechnet werden, was die Anzahl aufeinanderfolgender Perioden anzeigt, die die Cummen C oder C - von Null verschieden waren. 11 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Die standardisierten Cusmen Es mag von Interesse sein, die Variable x i zu standardisieren. Die standardisierten Cusmen werden dann mit Hilfe der rationalen Untergruppen verbessert. Cusum ist nicht zwangsläufig mit rationaler Untergruppierung verbessert, nur wenn es eine beträchtliche Skaleneffizienz oder einen anderen Grund für die Rationalisierung größerer Proben gibt Untergruppierung mit dem Cusum berücksichtigt werden 13 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Verbesserung der Cusum-Reaktionsfähigkeit bei großen Verschiebungen Cusum-Kontrollkarte ist nicht so effektiv bei der Erkennung großer Verschiebungen im Prozessmittel als Shewhart-Diagramm. Eine Alternative ist die Verwendung eines kombinierten cusum-Shewhart-Verfahrens für die Online-Steuerung. Das kombinierte cusum-Shewhart Verfahren kann die cusum-Ansprechempfindlichkeit gegenüber großen Verschiebungen verbessern. 14 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Die Fast-Initial-Response - oder Headstart-Funktion Diese Verfahren wurden eingeführt, um die Empfindlichkeit der cusum-Kontrollkarte bei der Inbetriebnahme zu erhöhen. Die schnelle Anfangsantwort (FIR) oder Kopfstart setzt die Startwerte gleich einem Wert ungleich Null, typischerweise H2. Das Setzen der Startwerte auf H2 wird als 50 Prozent Kopfstart bezeichnet. 15 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Einseitige Cusums Es gibt praktische Situationen, in denen ein einseitiger Cusum nützlich ist. Wenn eine Verschiebung in nur einer Richtung von Interesse ist, dann wäre ein einseitiger Cusum anwendbar. Der Standardwert von xi ist eine neue standardisierte Menge (Hawkins (1981) (1993)), die von Hawkins angegeben wird, deuten darauf hin, dass die i für Variationsänderungen eher empfindlich sind als für die Variabilität Mittlere Veränderungen. 17 Einleitung zur statistischen Qualitätskontrolle, 4. Auflage Ein Cusum zur Überwachung der Prozessvariabilität I N (0, 1), zwei einseitig genormte Maßstabsküvetten sind The Scale Cusum, wobei, wenn eine Statistik statistisch h überschreitet, der Prozess als außer Kontrolle geraten wird. 18 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Das V-Maskenverfahren Das V-Maskenverfahren ist eine Alternative zum tabellarischen Cusum. Es wird oft dringend empfohlen, das V-Maskenverfahren aus mehreren Gründen nicht zu verwenden. 1.Die V-Maske ist ein zweiseitiges Schema, es ist nicht sehr nützlich für einseitige Prozessüberwachungsprobleme. 2. Die Kopfstart-Funktion, die in der Praxis sehr nützlich ist, kann mit der V-Maske nicht implementiert werden. 3. Es ist manchmal schwierig, zu bestimmen, wie weit sich die Arme der V-Maske nach hinten erstrecken sollten, wodurch die Interpretation für den Praktiker schwierig wird. 4.Ambiguität im Zusammenhang mit und 19 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage 8-2. Das exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittskontrolldiagramm Das exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittskontrolldiagramm, das den Prozess überwacht Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) ist definiert als wobei 0 20 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Die exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittskontrollkarte Überwacht den Prozess Mittel Die Regelgrenzen für die EWMA-Regelkarte sind L, wobei L die Breite der Regelgrenzen ist. 21 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Das exponentiell gewichtete gleitende Kontrollschema Überwachen des Prozesses Mit zunehmend größer wird der Term 1- (1 -) 2i unendlich. Dies deutet darauf hin, dass sich die Regelgrenzen nach Ablauf des EWMA-Regelschemas für einige Zeiträume an Steady-State-Werte anlehnen, die von 22 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Design eines EWMA-Regelschemas Die Auslegungsparameter des Diagramms sind L und. Die Parameter können gewählt werden, um die gewünschte ARL-Leistung zu erzielen. Im Allgemeinen funktioniert 0,05 0,25 in der Praxis gut. L 3 funktioniert einigermaßen gut (vor allem mit dem größeren Wert von L zwischen 2,6 und 2,8 ist sinnvoll, wenn 0,1 Ähnlich wie beim Cusum wirkt das EWMA gut gegen kleine Verschiebungen, reagiert aber nicht so schnell auf große Verschiebungen wie das Shewhart-Diagramm EWMA Oft überlegen gegenüber dem Cusum für größere Verschiebungen, insbesondere wenn 0.1 0.1 23 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Robustheit der EWMA zur Nicht-Normalität Wie in Kapitel 5 diskutiert, ist die Kontrollkarte der Individuen empfindlich gegenüber Nicht-Normalität Ist weniger empfindlich gegenüber der Normalitätsannahme.7.3.7 Exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) 7.3.7 Exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt Um die Annahmen einer einheitlich gewichteten gleitenden Durchschnittsbewertung (UWMA) mit den Realitäten der Markt-Heteroskedastizität in Einklang zu bringen, könnten wir den Schätzer 7.10 anwenden Auf nur die jüngsten historischen Daten tq, die am ehesten von den gegenwärtigen Marktbedingungen reflektiert werden sollten. Dies ist selbstzerstörerisch, da die Anwendung des Schätzers 7.10 auf eine kleine Datenmenge seinen Standardfehler erhöhen wird. Folglich bedeutet UWMA ein Dilemma: das Anwenden auf eine Menge von Daten ist schlecht, aber so wird es auf ein wenig Daten. Dies motivierte Zangari (1994) eine Modifikation UWMA vorzuschlagen genannt gleitender Durchschnitt (EWMA) estimation.2 exponentiell gewichteten Dies gilt eine ungleichmäßige Gewichtung Zeitreihendaten, so dass eine Menge von Daten verwendet werden können, aber die jüngsten Daten mehr gewichtet stark . Wie der Name schon sagt, basieren Gewichte auf der Exponentialfunktion. Eine exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittsschätzung ersetzt die Schätzfunktion 7.10, wobei der Zerfallsfaktor im Allgemeinen einen Wert zwischen 0,95 und 0,99 zugewiesen wird. Niedrigere Zerfallsfaktoren neigen dazu, jüngere Daten stärker zu gewichten. Man beachte, dass die exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittsschätzung weit verbreitet ist, aber sie ist eine bescheidene Verbesserung gegenüber UWMA. Es versucht nicht, marktbedingte Heteroskedastizität mehr als UWMA zu modellieren. Sein Gewichtungsschema ersetzt das Dilemma, wie viel Daten zu verwenden, mit einem ähnlichen Dilemma, wie aggressiv ein Zerfallsfaktor zu verwenden. Betrachten wir wieder Ausstellung 7.6 und unser Beispiel der USD 10MM Position ist SGD. Lets Schätzung 10 1 mit exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt Schätzer 7,20. Wenn wir .99 verwenden, erhalten wir eine Schätzung für 10 1 von .0054. Wenn wir .95 verwenden, erhalten wir eine Schätzung von .0067. Diese entsprechen der Position Value-at-Risk-Ergebnisse von USD 89.000 bzw. USD 110.000. 7.7 zeigt 30 Tage Daten für einen einmonatigen CHF Libor an. 7.7: Daten für 1-Monats-CHF-Libor. Die Preise sind in Prozent angegeben. Quelle: British Bankers Association (BBA). Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Kapitel 8 Kumulative Summe und exponentiell gewichtete Moving Average Control Charts. Präsentation zum Thema: Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Kapitel 8 Kumulative Summe und exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittliche Kontrolldiagramme. Präsentationstranskript: 1 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Kapitel 8 Kumulative Summe und exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittliche Kontrolldiagramme 2 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Einleitung Die Kapitel 4 bis 6 konzentrierten sich auf Shewhart-Kontrollkarten. Der Hauptnachteil von Shewhart-Kontrollkarten ist, dass er nur die Informationen über den Prozess verwendet, der in dem zuletzt aufgetragenen Punkt enthalten ist. Zwei wirksame Alternativen zu den Shewhart-Kontrollkarten sind das kumulative Summen - (CUSUM-) Kontrolldiagramm und das exponentiell gewichtete gleitende Mittel (EWMA) - Regeldiagramm. Besonders geeignet, wenn kleine Verschiebungen erkannt werden sollen. 3 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage 8-1. Das Kumulative-Summen-Kontrolldiagramm Grundprinzipien: Das Cusum-Kontrolltafel zur Überwachung des Prozesses Mittel Das Kumulationsdiagramm enthält alle Informationen in der Sequenz von Abtastwerten, indem die kumulativen Summen der Abweichungen der Abtastwerte von einem Zielwert aufgetragen werden. Wenn 0 das Ziel für das Prozeßmittel ist, ist der Durchschnitt des j-ten Abtastwerts, dann wird das kumulative Summenkontrolldiagramm durch Auftragen der Grße 4 Einleitung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Überwachung des Prozeßmittelwerts Xi die i-te Beobachtung auf dem Prozeß Wenn der Prozeß in der Steuerung ist, dann ist Annehmen bekannt oder kann geschätzt werden. Kumulieren Ableitungen vom Ziel 0 oberhalb des Ziels mit einer Statistik, C Akkumulieren Ableitungen vom Ziel 0 unter dem Ziel mit einer anderen Statistik, C C und C - sind einseitige obere und untere Kumulus. 5 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Die Statistik wird wie folgt berechnet: Die tabellarischen Cusum-Startwerte sind K der Referenzwert (oder Zulage - oder Slackwert) Wenn eine Statistik eine Entscheidung übersteigt Intervall H wird der Prozess als außer Kontrolle betrachtet. Oft als H 5 6 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Bei der Auswahl des Referenzwerts wird KK oftmals auf halbem Weg zwischen dem Ziel 0 und dem Out-of-Control-Wert des Mittelwertes gewählt 1, dass wir daran interessiert sind, schnell zu erkennen. Shift wird in Standardabweichungseinheiten als 1 0 ausgedrückt, dann ist K 7 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Überwachung des Prozesses Beispiel 8-1 0 10, n 1, 1 Interessiert an der Erkennung einer Verschiebung von 1,0 1,0 (1,0) 1,0 Außerhalb des Wertes des Prozeßmittels: 1 11 K und H 5 5 (empfohlen, im folgenden Abschnitt diskutiert) Die Gleichungen für die Statistik sind dann: 8 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Überwachung des Prozesses Beispiel 8-1 9 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Beispiel 8-1 Die cusum Kontrollkarte zeigt an, dass der Prozess außer Kontrolle gerät. Der nächste Schritt besteht darin, nach einer zuordenbaren Ursache zu suchen, Korrekturmaßnahmen vorzunehmen und den Cusum bei Null wieder zu initialisieren. Wenn eine Anpassung an den Prozess vorgenommen werden muss, kann hilfreich sein, um das Prozessmittel nach der Verschiebung zu schätzen. 10 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Der tabellarische oder algorithmische Cusum zur Prozessüberwachung Beispiel 8-1 Wenn eine Anpassung an den Prozess vorgenommen werden muss, kann es hilfreich sein, das Prozessmittel nach der Verschiebung zu schätzen. Die Schätzung kann aus N, N - Zählern berechnet werden, was die Anzahl aufeinanderfolgender Perioden anzeigt, die die Cummen C oder C - von Null verschieden waren. 11 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Die standardisierten Cusmen Es mag von Interesse sein, die Variable x i zu standardisieren. Die standardisierten Cusmen werden dann mit Hilfe der rationalen Untergruppe verbessert. Cusum ist nicht zwangsläufig mit rationaler Untergruppierung verbessert, nur wenn es eine beträchtliche Skaleneffizienz oder einen anderen Grund für die Rationalisierung größerer Proben gibt Untergruppierung mit dem Cusum berücksichtigt werden 13 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Verbesserung der Cusum-Reaktionsfähigkeit bei großen Verschiebungen Cusum-Kontrollkarte ist nicht so effektiv bei der Erkennung großer Verschiebungen im Prozessmittel als Shewhart-Diagramm. Eine Alternative ist die Verwendung eines kombinierten cusum-Shewhart-Verfahrens für die Online-Steuerung. Das kombinierte cusum-Shewhart Verfahren kann die cusum-Ansprechempfindlichkeit gegenüber großen Verschiebungen verbessern. 14 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Die Fast-Initial-Response - oder Headstart-Funktion Diese Verfahren wurden eingeführt, um die Empfindlichkeit der cusum-Kontrollkarte bei der Inbetriebnahme zu erhöhen. Die schnelle Anfangsantwort (FIR) oder Kopfstart setzt die Startwerte gleich einem Wert ungleich Null, typischerweise H2. Das Setzen der Startwerte auf H2 wird als 50 Prozent Kopfstart bezeichnet. 15 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Einseitige Cusums Es gibt praktische Situationen, in denen ein einseitiger Cusum nützlich ist. Wenn eine Verschiebung in nur einer Richtung von Interesse ist, dann wäre ein einseitiger Cusum anwendbar. Der Standardwert von xi ist eine neue standardisierte Menge (Hawkins (1981) (1993)), die von Hawkins angegeben wird, deuten darauf hin, dass die i für Variationsänderungen eher empfindlich sind als für die Variabilität Mittlere Veränderungen. 17 Einleitung zur statistischen Qualitätskontrolle, 4. Auflage Ein Cusum zur Überwachung der Prozessvariabilität I N (0, 1), zwei einseitig genormte Maßstabsküvetten sind The Scale Cusum, wobei, wenn eine Statistik statistisch h überschreitet, der Prozess als außer Kontrolle geraten wird. 18 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Das V-Maskenverfahren Das V-Maskenverfahren ist eine Alternative zum tabellarischen Cusum. Es wird oft dringend empfohlen, das V-Maskenverfahren aus mehreren Gründen nicht zu verwenden. 1.Die V-Maske ist ein zweiseitiges Schema, es ist nicht sehr nützlich für einseitige Prozessüberwachungsprobleme. 2. Die Kopfstart-Funktion, die in der Praxis sehr nützlich ist, kann mit der V-Maske nicht implementiert werden. 3. Es ist manchmal schwierig, zu bestimmen, wie weit sich die Arme der V-Maske nach hinten erstrecken sollten, wodurch die Interpretation für den Praktiker schwierig wird. 4.Ambiguität im Zusammenhang mit und 19 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage 8-2. Das exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittskontrolldiagramm Das exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittskontrolldiagramm, das den Prozess überwacht Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) ist definiert als wobei 0 20 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Ausgabe Die exponentiell gewichtete gleitende Durchschnittskontrollkarte Überwacht den Prozess Mittel Die Regelgrenzen für die EWMA-Regelkarte sind L, wobei L die Breite der Regelgrenzen ist. 21 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Das exponentiell gewichtete gleitende Kontrollschema Überwachen des Prozesses Mit zunehmend größer wird der Term 1- (1 -) 2i unendlich. Dies deutet darauf hin, dass sich die Regelgrenzen nach Ablauf des EWMA-Regelschemas für einige Zeiträume an Steady-State-Werte anlehnen, die von 22 Einführung in die Statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Design eines EWMA-Regelschemas Die Auslegungsparameter des Diagramms sind L und. Die Parameter können gewählt werden, um die gewünschte ARL-Leistung zu erzielen. Im Allgemeinen funktioniert 0,05 0,25 in der Praxis gut. L 3 funktioniert einigermaßen gut (vor allem mit dem größeren Wert von L zwischen 2,6 und 2,8 ist sinnvoll, wenn 0,1 Ähnlich wie beim Cusum wirkt das EWMA gut gegen kleine Verschiebungen, reagiert aber nicht so schnell auf große Verschiebungen wie das Shewhart-Diagramm EWMA Oft überlegen gegenüber dem Cusum für größere Verschiebungen, insbesondere wenn 0.1 0.1 23 Einführung in die statistische Qualitätskontrolle, 4. Auflage Robustheit der EWMA zu Nicht-Normalität Wie in Kapitel 5 diskutiert, ist die Kontrollgruppe für Individuen empfindlich gegenüber Nicht-Normalität Ist weniger empfindlich gegenüber der Normalitätsannahme.
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